Finite Mathematik Beispiele

$2 x - 3 y - z = 0$ , $- x + 2 y + z = 5$

Schritt 1

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

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Schritt 1.1

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 y - z = - 2 x$

$- x + 2 y + z = 5$

Schritt 1.1.2

Addiere $z$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- 3 y = - 2 x + z$

$- x + 2 y + z = 5$

$- 3 y = - 2 x + z$

$- x + 2 y + z = 5$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 3 y = - 2 x + z$ durch $- 3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 3 y = - 2 x + z$ durch $- 3$ .

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{- 2 x}{- 3} + \frac{z}{- 3}$

$- x + 2 y + z = 5$

Schritt 1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 3$ .

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Schritt 1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 3 y}{- 3} = \frac{- 2 x}{- 3} + \frac{z}{- 3}$

$- x + 2 y + z = 5$

Schritt 1.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 2 x}{- 3} + \frac{z}{- 3}$

$- x + 2 y + z = 5$

$y = \frac{- 2 x}{- 3} + \frac{z}{- 3}$

$- x + 2 y + z = 5$

$y = \frac{- 2 x}{- 3} + \frac{z}{- 3}$

$- x + 2 y + z = 5$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = \frac{2 x}{3} + \frac{z}{- 3}$

$- x + 2 y + z = 5$

Schritt 1.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{z}{3}$

$- x + 2 y + z = 5$

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{z}{3}$

$- x + 2 y + z = 5$

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{z}{3}$

$- x + 2 y + z = 5$

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{z}{3}$

$- x + 2 y + z = 5$

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{z}{3}$

$- x + 2 y + z = 5$

Schritt 2

Löse die Gleichung nach $z$ auf.

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Schritt 2.1

Vereinfache $- x + 2 (\frac{2 x}{3} - \frac{z}{3}) + z$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- x + 2 (\frac{2 x}{3}) + 2 (- \frac{z}{3}) + z = 5$

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{z}{3}$

Schritt 2.1.1.2

Multipliziere $2 \frac{2 x}{3}$ .

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Schritt 2.1.1.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{2 x}{3}$ .

$- x + \frac{2 (2 x)}{3} + 2 (- \frac{z}{3}) + z = 5$

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{z}{3}$

Schritt 2.1.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- x + \frac{4 x}{3} + 2 (- \frac{z}{3}) + z = 5$

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{z}{3}$

$- x + \frac{4 x}{3} + 2 (- \frac{z}{3}) + z = 5$

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{z}{3}$

Schritt 2.1.1.3

Multipliziere $2 (- \frac{z}{3})$ .

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Schritt 2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- x + \frac{4 x}{3} - 2 \frac{z}{3} + z = 5$

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{z}{3}$

Schritt 2.1.1.3.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{z}{3}$ .

$- x + \frac{4 x}{3} + \frac{- 2 z}{3} + z = 5$

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{z}{3}$

$- x + \frac{4 x}{3} + \frac{- 2 z}{3} + z = 5$

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{z}{3}$

Schritt 2.1.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- x + \frac{4 x}{3} - \frac{2 z}{3} + z = 5$

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{z}{3}$

$- x + \frac{4 x}{3} - \frac{2 z}{3} + z = 5$

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{z}{3}$

Schritt 2.1.2

Um $- x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- x \cdot \frac{3}{3} + \frac{4 x}{3} - \frac{2 z}{3} + z = 5$

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{z}{3}$

Schritt 2.1.3

Kombiniere $- x$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{- x \cdot 3}{3} + \frac{4 x}{3} - \frac{2 z}{3} + z = 5$

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{z}{3}$

Schritt 2.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- x \cdot 3 + 4 x}{3} - \frac{2 z}{3} + z = 5$

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{z}{3}$

Schritt 2.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$z + \frac{- x \cdot 3 + 4 x - 2 z}{3} = 5$

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{z}{3}$

Schritt 2.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$z + \frac{- 3 x + 4 x - 2 z}{3} = 5$

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{z}{3}$

Schritt 2.1.7

Addiere $- 3 x$ und $4 x$ .

$z + \frac{x - 2 z}{3} = 5$

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{z}{3}$

Schritt 2.1.8

Um $z$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$z \cdot \frac{3}{3} + \frac{x - 2 z}{3} = 5$

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{z}{3}$

Schritt 2.1.9

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1.9.1

Kombiniere $z$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{z \cdot 3}{3} + \frac{x - 2 z}{3} = 5$

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{z}{3}$

Schritt 2.1.9.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{z \cdot 3 + x - 2 z}{3} = 5$

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{z}{3}$

$\frac{z \cdot 3 + x - 2 z}{3} = 5$

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{z}{3}$

Schritt 2.1.10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.10.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $z$ .

$\frac{3 \cdot z + x - 2 z}{3} = 5$

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{z}{3}$

Schritt 2.1.10.2

Subtrahiere $2 z$ von $3 z$ .

$\frac{x + z}{3} = 5$

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{z}{3}$

$\frac{x + z}{3} = 5$

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{z}{3}$

$\frac{x + z}{3} = 5$

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{z}{3}$

Schritt 2.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $3$ .

$3 (\frac{x + z}{3}) = 3 \cdot 5$

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{z}{3}$

Schritt 2.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 (\frac{x + z}{3}) = 3 \cdot 5$

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{z}{3}$

Schritt 2.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$x + z = 3 \cdot 5$

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{z}{3}$

$x + z = 3 \cdot 5$

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{z}{3}$

$x + z = 3 \cdot 5$

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{z}{3}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$x + z = 15$

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{z}{3}$

$x + z = 15$

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{z}{3}$

$x + z = 15$

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{z}{3}$

Schritt 2.4

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$z = 15 - x$

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{z}{3}$

$z = 15 - x$

$y = \frac{2 x}{3} - \frac{z}{3}$

Schritt 3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1

Vereinfache $\frac{2 x}{3} - \frac{15 - x}{3}$ .

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Schritt 3.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{2 x - (15 - x)}{3}$

$z = 15 - x$

Schritt 3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2 x - 1 \cdot 15 + x}{3}$

$z = 15 - x$

Schritt 3.1.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $15$ .

$y = \frac{2 x - 15 + x}{3}$

$z = 15 - x$

Schritt 3.1.2.3

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 3.1.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y = \frac{2 x - 15 + 1 x}{3}$

$z = 15 - x$

Schritt 3.1.2.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$y = \frac{2 x - 15 + x}{3}$

$z = 15 - x$

$y = \frac{2 x - 15 + x}{3}$

$z = 15 - x$

$y = \frac{2 x - 15 + x}{3}$

$z = 15 - x$

Schritt 3.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.1.3.1

Addiere $2 x$ und $x$ .

$y = \frac{3 x - 15}{3}$

$z = 15 - x$

Schritt 3.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3 x - 15$ und $3$ .

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Schritt 3.1.3.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$y = \frac{3 (x) - 15}{3}$

$z = 15 - x$

Schritt 3.1.3.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 15$ heraus.

$y = \frac{3 (x) + 3 \cdot - 5}{3}$

$z = 15 - x$

Schritt 3.1.3.2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (x) + 3 (- 5)$ heraus.

$y = \frac{3 (x - 5)}{3}$

$z = 15 - x$

Schritt 3.1.3.2.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.1.3.2.4.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$y = \frac{3 (x - 5)}{3 (1)}$

$z = 15 - x$

Schritt 3.1.3.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{3 (x - 5)}{3 \cdot 1}$

$z = 15 - x$

Schritt 3.1.3.2.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x - 5}{1}$

$z = 15 - x$

Schritt 3.1.3.2.4.4

Dividiere $x - 5$ durch $1$ .

$y = x - 5$

$z = 15 - x$

$y = x - 5$

$z = 15 - x$

$y = x - 5$

$z = 15 - x$

$y = x - 5$

$z = 15 - x$

$y = x - 5$

$z = 15 - x$

$y = x - 5$

$z = 15 - x$

Schritt 4

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.1

Stelle $15$ und $- x$ um.

$z = - x + 15$

$y = x - 5$

$z = - x + 15$

$y = x - 5$